习题1.3(b):分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划问题,并对照指出单纯形表中的各基可行解分别对应图解法中可行域的哪一顶点.

$\max z=2x_1+x_2$,

$$

s.t.

\begin{cases}

  5x_2\leq 15\\

6x_1+2x_2\leq 24\\

x_1+x_2\leq 5\\

x_1,x_2\geq 0\\

\end{cases}

$$

解:  先用图解法解决这个问题.以 $x_1$ 为横坐标,$x_2$ 为纵坐标,做图如下:

易得 $z$ 的最大值为 $8.5$.易得图上的可行域中有五个顶点,分别是$A(0,3),B(2,3),C(3.5,1.5),D(4,0),E(0,0)$.下面我们用单纯形法来解这道题.为此先把上面的线性规划问题化为标准形式,得到

$\max z=2x_1+x_2+0\cdot

x_3+0\cdot x_4+0\cdot x_5$.

$$s.t.

\begin{cases}

 0\cdot x_1+5x_2+x_3+0\cdot x_4+0\cdot x_5=15\\

6x_1+2x_2+0\cdot x_3+x_4+0\cdot x_{5}=24\\

x_1+x_2+0\cdot x_3+0\cdot x_4+x_5=5\\

x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\geq 0

\end{cases}

$$

可得约束方程组的系数矩阵为

$$A=

\begin{bmatrix}

  0&5&1&0&0\\

6&2&0&1&0\\

1&1&0&0&1\\

\end{bmatrix}

$$

该矩阵由5个列向量组成,记第 $i(1\leq i\leq 5)$ 个列向量为 $P_i$.该矩阵由 3 个行向量组成,记第 $k$($1\leq k\leq 3$) 个行向量为 $Q_k$.易得向量 $Q_1,Q_2,Q_3$ 线性无关,因此由线性代数中的知识,我们知道 $P_1,P_2,P_3,P_4,P_5$ 中线性无关的向量不会超出 3个.我们知道,$P_3,P_4,P_5$ 肯定线性相关,因此该线性规划问题的基是存在的.我们将它们列如下:

1. $\{P_1,P_2,P_3\}$
2. $\{P_1,P_2,P_4\}$
3. $\{P_1,P_2,P_5\}$
4. $\{P_2,P_3,P_4\}$
5. $\{P_2,P_3,P_5\}$
6. $\{P_3,P_4,P_5\}$
7. $\{P_1,P_3,P_4\}$
8. $\{P_1,P_3,P_5\}$
9. $\{P_1,P_4,P_5\}$(显然不是一组基)
10. $\{P_2,P_4,P_5\}$

这些基对应的基解分别为

1. $x_1=3.5,x_2=1.5,x_3=7.5$.其余皆为0.
2. $x_1=2,x_2=3,x_4=6$.其余皆为0.
3. $x_1=3,x_2=3,x_5=-1$.其余皆为0.
4. $x_2=5,x_3=-10,x_4=14$.其余皆为0.
5. $x_2=12,x_3=-45,x_5=-7$.其余皆为0.
6. $x_3=15,x_4=24,x_5=5$.其余皆为0.
7. $x_1=5,x_3=15,x_4=-6$.其余皆为0.
8. $x_1=4,x_3=15,x_5=1$.其余皆为0.
9. $x_2=3,x_4=18,x_5=2$.其余皆为0.

这些基解中,基可行解是

1. $x_1=3.5,x_2=1.5,x_3=7.5$.其余皆为0.对应点 $C$.
2. $x_1=2,x_2=3,x_4=6$.其余皆为0.对应点 $B$.
3. $x_3=15,x_4=24,x_5=5$.其余皆为0.对应点 $E$.
4. $x_1=4,x_3=15,x_5=1$.其余皆为0.对应点 $D$.
5. $x_2=3,x_4=18,x_5=2$.其余皆为0.对应点 $A$.